"미적분은 몰라도 사칙연산만 할 줄 알면 된다"
"도데체 미적분은 어디에 써먹길래 우리를 그렇게 괴롭히는거지?"
고등학생들을 가장 괴롭히는 과목은 수학으로 알려져있습니다. 고등학교 수학의 꽃은 누군가 기하, 확률과 통계를 말할 수 있지만 저는 미적분이라고 생각합니다. 학생들이 가장 어려워하고, 나올 수 있는 응용분야가 많은 미적분. 이과생은 미적분이 필수라고 합니다. 공대생이 미적분을 알아야하는 이유는 미분방정식을 풀어야하기 때문이라고 강력하게 말할 수 있습니다.
이번 글에서 이과생이, 특히 공과대학에 진학하고싶은 여러분을 위해 미분방정식이 무엇인지, 왜 공대에서 핵심인지 알아보고자 합니다.
미분방정식은 무엇일까?
위의 두 방정식의 차이가 보이시나요? 왼쪽이 미분방정식이고 오른쪽이 대수방정식입니다.
우리가 고등학교때까지 배우는 방정식들은 대부분이 대수방정식입니다. 대수방정식은 x=2, y=4과 같이 미지수를 결정하는 방정식입니다. 그런데 왼쪽의 미분방정식을 보세요. x와 y의 값을 결정할 수 있나요?
미분방정식이란 쉽게 말해서 y=f(x)를 구하는 방정식입니다. 여러분이 모의고사에서 삼차함수나 복잡한 함수를 추론하는 것처럼, y, y', x 등으로 이루어진 식으로 적절한 적분과 계산을 통해 식을 결정해야합니다.
미분방정식에는 수많은 종류가 있고 수많은 정해진 풀이가 있습니다. 미분방정식마다 특징이 있고, 그 특징을 이용해서 풀이를 해야하는데 조금만 식이 변형되어도 해야하는 풀이가 완전히 달라질 수 있습니다. 그래서 많은 사람들이 미분방정식은 암기과목이라는 얘기를 종종 합니다.
고등학생은 미분방정식의 풀이를 알 필요가 없기 때문에, 미분방정식의 대략적인 분류에 대해 소개해보고자 합니다.
미분방정식은 크게 두가지로 나뉩니다.
1. 상미분방정식 2. 편미분방정식
상미분방정식이란 위에 나온것처럼 독립변수가 한개로 이루어진 식을 말하고, 편미분방정식은 독립변수가 두 개 이상인 식을 말합니다.
상미분방정식 중에서 위에 있는 식처럼 1계 도함수까지만으로 이루어진 식을 1계 상미분방정식, 2계 도함수까지 이루어진 식을 2계 상미분방정식이라고 부릅니다.
미분방정식이 공대에서 중요한 이유
엔지니어가 어떤 현상을 가지고 해석하는 단계는 크게 4가지로 분류될 수 있습니다.
현상을 관찰하고, 그 현상을 수학적으로 분석하여 하나의 모델을 만드는 모델링을 한 후, 그 모델을 수학적인 계산을 통해 식을 만들어서 최종적으로 그 식의 물리적인 뜻을 파악하는 단계입니다.
아이스크림이 녹는 것을 예로 들어봅시다.
"아이스크림이 녹네?"(현상 관찰) -> "아이스크림이 녹는 속도를 계산하여 식을 세워보자"(수학적 모델링) -> "식을 간단하게 정리하자" (수학적 풀이)-> "아이스크림은 이런 속도로 녹는구나. 그럼 다시 아이스크림을 녹는 것을 관찰하면 몇 초 후에는 이정도 녹겠지?"(물리적 해석)
이 중 수학적 풀이에 해당하는 것이 미분방정식을 푸는 것입니다. 귀납적으로 발견된 어떤 현상은 시간, 혹은 위치에 따른 함수로 표현되는데 이 복잡한 식을 간단하게 정리하는 것이 미분방정식을 푸는 것입니다.
엔지니어는 어떤 현상을 관찰하고 수학적으로 문제를 해결하는 것이 주된 임무입니다. 기계공학, 화학공학, 전자공학, 재료공학, 토목공학 등 대부분의 공대는 이런 문제를 해결해야합니다. 따라서 4단계의 능력을 키우는 것이 중요합니다. 1,2,4번째의 능력은 전공과목을 이해한다면 할 수 있습니다. 하지만 수학적 풀이능력이 따르지 않는다면 아무리 전공지식이 뛰어나더라도 문제를 해결할 수 없습니다.
누군가는 이렇게 말합니다.
"굳이 내가 풀어야 하나? 계산기에 식을 넣으면 알아서 풀어주는데 내가 직접 왜 풀어야하지?"
이런 생각이 들 수도 있습니다. 기계가 다 방정식을 풀어주는데도 불구하고 우리가 미분방정식에 대해 깊이 알아야하는 이유는, 문제 해결을 하기위한 안목을 늘리기 위해서 반드시 필수적인 단계입니다. 또, 현장에서 문제해결을 급하게 해야하는데 또 기계에 의존한다면, 진정한 엔지니어라고 할 수 있을까요? 그래서 저는 엔지니어라면 미분방정식을 조금 까먹더라도 어떻게 푸는지 알아야한다고 강하게 주장합니다.